Cálculo diferencial : Resolución de problemas de máximos y mínimos

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
Hacer un dibujo cuando sea necesario.
Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.
Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema
Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

1.

Círculo de radio r con centro en

Ecuación:

Circunferencia: $2\pi r$
Área: $\pi r^2$

2.

Sector circular;
Área: $\displaystyle\frac{1}{2}r^2$ $\theta$ donde $\theta$ es el ángulo central medio en radianes.

Área: $\displaystyle\frac{rs}{2}$ donde s es la longitud del arco AB

3.

Trapecio

Área: $\displaystyle\frac{(B+b)}{2}\cdot h$ , donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.

4.

Cilindro circular recto de altura hy radio de la base r.
Volumen: $\pi r^2h$
Área lateral: $2 \pi rh$
Área total: $2 \pi rh + 2 \pi r^2$

5.

Cono circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen: $\displaystyle\frac{\pi r^2h}{3}$
Superficie lateral: $\pi r$ . L donde Les la generatriz está dada por:
$L=\sqrt{r^2+h^2}$

6.