funciones exponenciales, logarítmicas naturales y de base

Las derivadas de funciones exponenciales, se les llama así porque la variable x es el exponente. En general una  función exponencial tiene la forma f(x)=ax, donde a>0 y x es cualquier número real, tal como:

1: la derivada de a^u.

Si y= a^u

y´= u´.a^ulna  o  a^ulna d/dx (u)

Ejemplo

a)      Calcula la deriva de y = 2^x2

Si u = x²

Aplica la regla y´=2^x2ln2 d/dx (x²)

                          y´= 2^x2 ln2(2x)

                         y´= (2x) 2^x2ln2

2: la derivada de Euler.

Si y= e^u

y´= u´.e^u   o   e^u d/dx (u)

Ejemplo

a)      Calcula la derivada de y= e^3x

Si u=3x

Aplica la regla de y´= e^3x d/dx (3x)

                             y´= e^3x (3)

                             y´= 3 e^3x

Si a>0 y a≠1, la función exponencial f(x)=a^x tiene una función inversa que se llama función logarítmica de base a y se escribe:

 f(x)=log_a x

En general, su u es una función derivable de x, la función logarítmica se base a se puede escribir como:

 f(x)= log_a u 

Si la base a=10, el logaritmo se conoce como logaritmo decimal y se representa con la notación log. En cambio, se a=e, el logaritmo se conoce como logaritmo natural y se representa con la notación ln, tal como:

1: la deriva de logaritmo natural:

Si y= lnu

y´= 1 d  (u)

      u  dx

Ejemplo

Calcula la deriva de y= ln e^x2

          Si u= e^x2

                                  d

Aplica la regla y´=  dx (e^x2)

                                     e^x2

                           y´= e^x2(2x)

                                    e^x2

                               y´= 2x

2: la derivada del logaritmo de base a:

si y= log_au

              y´=  1      d  (u)

                   ulna   dx