 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

  calcular la primera y segunda derivadas

  igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

  sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

  sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

criterio de la segunda derivada: sea f una función tal que su primera y segunda derivada existan en x = c. para la curva de f:

         existe un máximo relativo en x = c si:

f '(c) = 0          y          f ''(c) < 0

         existe un mínimo relativo en x = c si:

f '(c) = 0          y          f ''(c) > 0

cuando la función permite un cálculo rápido de sus derivadas sucesivas, el teorema resulta ser el mejor camino para la determinación de los extremos relativos.

ejemplo 1.- calcular  los  máximos  y mínimos  por el criterio  de  la segunda  derivada de la  función       

           f(x) = x³ – 6x² + 9x + 5.

a) calcular los números críticos.

                        f '(x) = 0

            f '(x) = 3x² – 12 x + 9

            3x² – 12x + 9 = 0

            x² – 4x + 3 = 0

            (x – 3) (x – 2) = 0

            x – 3 = 0   x – 1 = 0     

            x = 3         x = 1

b) calculo de la segunda derivada.

            f '' (x) = 6x – 12

c) sustitución de los números críticos.

            si x = 1

            f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).

            si x = 3

            f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 =  6 > 0 (mínimo).

d) calculo de los valores relativos.

            si x = 1

en forma de coordenada: (1, 9) máximo

            f(x) =  (1)³ – 6 (1)² + 9 (1) + 5

                    = 1 – 6 + 9 + 5 = 9

            máximo = 9          para x = 1

en forma de coordenada: (3, 5) mínimo

            si x = 3

f(x) =  (3)³ – 6 (3)² + 9 (3) + 5

                    = 27 – 54 + 27 + 5 = 5

            mínimo = 5           para x = 3

función creciente y decreciente. máximos y mínimos de una función. criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. concavidades y puntos de inflexión. criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.