Cálculo diferencial : 2014

lunes, 1 de diciembre de 2014

Resolución de problemas de máximos y mínimos

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
Hacer un dibujo cuando sea necesario.
Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.
Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema
Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

1.

Círculo de radio r con centro en

Ecuación:

Circunferencia: $2\pi r$
Área: $\pi r^2$

2.

Sector circular;
Área: $\displaystyle\frac{1}{2}r^2$ $\theta$ donde $\theta$ es el ángulo central medio en radianes.

Área: $\displaystyle\frac{rs}{2}$ donde s es la longitud del arco AB

3.

Trapecio

Área: $\displaystyle\frac{(B+b)}{2}\cdot h$ , donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.

4.

Cilindro circular recto de altura hy radio de la base r.
Volumen: $\pi r^2h$
Área lateral: $2 \pi rh$
Área total: $2 \pi rh + 2 \pi r^2$

5.

Cono circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen: $\displaystyle\frac{\pi r^2h}{3}$
Superficie lateral: $\pi r$ . L donde Les la generatriz está dada por:
$L=\sqrt{r^2+h^2}$

6.

Esfera de radio r.
Volumen: $\displaystyle\frac{4}{3} r^3 \pi$

Superficie: $4\pi r^2$

 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

 calcular la primera y segunda derivadas

 igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

 sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

 sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

criterio de la segunda derivada: sea f una función tal que su primera y segunda derivada existan en x = c. para la curva de f:

existe un máximo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) < 0

existe un mínimo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) > 0

cuando la función permite un cálculo rápido de sus derivadas sucesivas, el teorema resulta ser el mejor camino para la determinación de los extremos relativos.

ejemplo 1.- calcular los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada de la función

f(x) = x³ – 6x² + 9x + 5.

a) calcular los números críticos.

f '(x) = 0

f '(x) = 3x² – 12 x + 9

3x² – 12x + 9 = 0

x² – 4x + 3 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 x – 1 = 0

x = 3 x = 1

b) calculo de la segunda derivada.

f '' (x) = 6x – 12

c) sustitución de los números críticos.

si x = 1

f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).

si x = 3

f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo).

d) calculo de los valores relativos.

si x = 1

en forma de coordenada:

(1, 9) máximo

f(x) = (1)³ – 6 (1)² + 9 (1) + 5

= 1 – 6 + 9 + 5 = 9

máximo = 9 para x = 1

en forma de coordenada:

(3, 5) mínimo

si x = 3

f(x) = (3)³ – 6 (3)² + 9 (3) + 5

= 27 – 54 + 27 + 5 = 5

mínimo = 5 para x = 3

función creciente y decreciente. máximos y mínimos de una función. criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. concavidades y puntos de inflexión. criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Criterio de la Primera Derivada

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCIÓN CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIÉN CONTINUA.

obtener la primera derivada.

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos:

- A partir de la siguiente función encuentre:
a)Los puntos críticos.
b)Valores máximos y mínimos.
c)La gráfica de la función.

f(x)= 4x2 + 5x - 3

a) PUNTOS CRÍTICOS:
- obtener la derivada de la función:
8x + 5
- igualar con cero (0).
f'(x)= 8x + 5 = 0
x = -5/8

b)MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

- El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x".
- El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico.
- La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada.
- El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja".
- El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo.

c)GRÁFICA:
La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el punto crítico y asi obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica.

sentido de concavidad

Se dice que una función y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en
el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la ´
función en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la
función. ´
Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que ´
la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.
La concavidad nos da información acerca de la primera derivada

valores críticos de una función

En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.¹ ² El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre R^m y Rⁿ, y mapas diferenciables.

Punto de Inflexion

DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA

Sea

la ecuación de una función.

no existe, y la derivada

cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Clasificación de los puntos de inflexión

Nota

Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f.

Ejemplo:

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

DEFINICIÓN

Sea

la ecuación de una función.

no existe, y la derivada

cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Clasificación de los puntos de inflexión

Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f.

Ejemplo:

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

TABLA DE VALORES
X	Y
1	-2	P. INFLEXIÓN

mínimos y maximos absolutos y relativos

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.

Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto critico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa. En un punto critico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Pasos de Resoluciones de la Derivación

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triángulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x) 2 – 3(x + ∆x) – 1

· Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

· Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3

∆x

· Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y = 3x2 + 3x [0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3

∆x

∆y = 3x2 + 4x – 3

∆x

funciones exponenciales, logarítmicas naturales y de base

Las derivadas de funciones exponenciales, se les llama así porque la variable x es el exponente. En general una función exponencial tiene la forma f(x)=ax, donde a>0 y x es cualquier número real, tal como:

1: la derivada de a^u.

Si y= a^u

y´= u´.a^ulna o a^ulna d/dx (u)

Ejemplo

a) Calcula la deriva de y = 2^x²

Si u = x²

Aplica la regla y´=2^x²ln2 d/dx (x²)

y´= 2^x² ln2(2x)

y´= (2x) 2^x²ln2

2: la derivada de Euler.

Si y= e^u

y´= u´.e^u o e^u d/dx (u)

Ejemplo

a) Calcula la derivada de y= e³^x

Si u=3x

Aplica la regla de y´= e³^x d/dx (3x)

y´= e³^x (3)

y´= 3 e³^x

Si a>0 y a≠1, la función exponencial f(x)=a^x tiene una función inversa que se llama función logarítmica de base a y se escribe:

f(x)=log_a x

En general, su u es una función derivable de x, la función logarítmica se base a se puede escribir como:

f(x)= log_a u

Si la base a=10, el logaritmo se conoce como logaritmo decimal y se representa con la notación log. En cambio, se a=e, el logaritmo se conoce como logaritmo natural y se representa con la notación ln, tal como:

1: la deriva de logaritmo natural:

Si y= lnu

y´= 1 d (u)

u dx

Ejemplo

Calcula la deriva de y= ln e^x²

Si u= e^x²

Aplica la regla y´= dx (e^x²)

e^x²

y´= e^x²(2x)

e^x²

y´= 2x

2: la derivada del logaritmo de base a:

si y= log_au

y´= 1 d (u)

ulna dx

funciones trigonometricas

1: derivada de seno.

Si y = sen u

y´= u´.cos u

2: derivada de coseno.

Si y= cos u

y´= -u´.sen u

3: derivada de la tangente.

Si y=tan u

y´= u´.sec²u

4: derivada de cotangente.

Si y=cot u

y´= u´.csc² u

5: derivada de secante.

Si y= sec u

y´=u´.sec u.tan u

6: derivada de cosecante.

Si y= csc u

y´= -u´.csc u. cot u