Límites tipo

1. lim    (1 + 1/x)x = e
   x->inf
   

   
   

2. lim  (1 + x)1/x = e
   x->0
   

   
   

3.     L(1 + x)
   lim -------- = 1
   x->0   x
   
       L(1 + x)       1        (*)              por límite tipo 2
   lim ------- = lim --L(1 + x) = lim L(1 + x)1/x = lim Le = 1
   x->0   x      x->0 x           x->0             x->0
   
   (*) Pues bLa = Lab
   

   
   

4.     ex - 1
   lim ------- = 1
   x->0   x
   
   Cambio de variable: ex - 1 = y
                       lim y = 0
                       x->0
   
   ex = 1 + y => Lex = L(1 + y)
                 xLe = L(1 + y)  (pues Lab = bLa)
          x = L(1 + y)    (pues Le = 1)
   
        y            y               1
   lim  -- = lim  -------- = lim  -------  = 1
   y->0  x   y->0 L(1 + y)   y->0 L(1 + y)|
                                  ------- |-> 1 por límite tipo 3
                                     y    |
   

   
   

5.      ax - 1
   lim  ------ = La   (a perteneciente a R+)
   x->0    x
   
   Cambio de variable: ax - 1 = y  (limx->0 y = 0)
                       ax = 1 + y
                       Lax = L(1 + y)
                       xLa = L(1 + y)
                           L(1 + y)
                       x = --------
                             La
       y            y             La
   lim -- = lim  ------- = lim  -------  = La
   x->0 x   y->0 L(1 + y)  y->0 L(1 + y) |
                 -------        -------  | -> 1 por límite tipo 3
                   La               y    |
   

   
   

6.     sen x
   lim ----- = 1
   x->0  x
   

Consideremos el círculo trigonométrico (círculo de radio 1).

Si x > 0
   x = ÂP     (Recordar que el ángulo x se mide por la longitud 
   sen x = MP  del arco AP, independientemente de la unidad  
   tg x = AT   utilizada, que puede ser por ej. grados o radianes).
Si x < 0
   x = ÂP'
   sen x = MP'
   tg x = AT'

MP < AP < AT, o sea, sen x < x < tg x, para x > 0 (1)

MP' > AP' > AT', o sea, sen x > x > tg x, para x < 0 (2)

Dividimos (1) y (2) entre sen x (que es negativo cuando x < 0) 
y obtenemos:
                 x      tg x
           1 < ----- <  -----
               sen x    sen x

               sen x    sen x
           1 > ----- >  ----- = cos x -> 1
                 x       tg x   x->0

                                       sen x
Por teo. de la función comprendida lim ----- = 1
                                   x->0  x

7.     tg x
   lim ---- = 1
   x->0  x
   
       tg x          sen x                sen x
   lim ---- = lim  -------- = 1  pues lim ----- = 1 por límite
   x->0  x    x->0 (cos x)x           x->0  x       tipo 6
   
                                 y lim cos x = 1
                                   x->0
   

   
   

8.     1 - cos x    1
   lim ---------- = --
   x->0    x2        2
   
   cos2x + sen2x = 1 => sen2x = 1 - cos2x (1)
   
       1 - cos x       (1 - cos x)(1 + cos x)
   lim --------- = lim ---------------------- =
   x->0   x2       x->0    x2(1 + cos x)
   
         1 - cos2x   por (1)        sen2x        1
   lim  -------------  =    lim  ------------- = -- 
   x->0 x2(1 + cos x)       x->0  x2(1 + cos x)   2
   
             sen2x
   pues lim ----- = 1 por límite tipo 6 y lim 1 + cos x = 2
        x->0  x2                          x->0
   

   
   

9.     (1 + x)m - 1
   lim ------------- = 1
   x->0      mx
   
       (1 + x)m - 1       (1 + x)(1/x)xm - 1  por límite tipo 2
   lim ------------ = lim ----------------- =
   x->0     mx        x->0       mx
   
       emx - 1
   lim ------- = 1 por límite tipo 4
   x->0  mx
   

   
   

10.     n  ______
         \|1 + x  - 1    1
    lim ------------- =  --
    x->0      x          n
    
       n _____
       \|1 + x - 1      (1 + x)1/n - 1       (1 + x)(1/x)x(1/n) - 1
    lim ---------- = lim ------------- = lim -------------------- 
    x->0    x        x->0      x         x->0     x
    
    por límite tipo 2
          ex/n - 1        ex/n - 1   1   por límite tipo 4
    = lim -------- = lim -------- = --
    x->0     x       x->0 (x/n).n    n