Continuidad de una funciónTeoría

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Ejemplo 

Estudiar la continuidad de  en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

En la gráfica podemos comprobar que es continua.

Límites tipo

1. lim    (1 + 1/x)x = e
   x->inf
   

   
   

2. lim  (1 + x)1/x = e
   x->0
   

   
   

3.     L(1 + x)
   lim -------- = 1
   x->0   x
   
       L(1 + x)       1        (*)              por límite tipo 2
   lim ------- = lim --L(1 + x) = lim L(1 + x)1/x = lim Le = 1
   x->0   x      x->0 x           x->0             x->0
   
   (*) Pues bLa = Lab
   

   
   

4.     ex - 1
   lim ------- = 1
   x->0   x
   
   Cambio de variable: ex - 1 = y
                       lim y = 0
                       x->0
   
   ex = 1 + y => Lex = L(1 + y)
                 xLe = L(1 + y)  (pues Lab = bLa)
          x = L(1 + y)    (pues Le = 1)
   
        y            y               1
   lim  -- = lim  -------- = lim  -------  = 1
   y->0  x   y->0 L(1 + y)   y->0 L(1 + y)|
                                  ------- |-> 1 por límite tipo 3
                                     y    |
   

   
   

5.      ax - 1
   lim  ------ = La   (a perteneciente a R+)
   x->0    x
   
   Cambio de variable: ax - 1 = y  (limx->0 y = 0)
                       ax = 1 + y
                       Lax = L(1 + y)
                       xLa = L(1 + y)
                           L(1 + y)
                       x = --------
                             La
       y            y             La
   lim -- = lim  ------- = lim  -------  = La
   x->0 x   y->0 L(1 + y)  y->0 L(1 + y) |
                 -------        -------  | -> 1 por límite tipo 3
                   La               y    |
   

   
   

6.     sen x
   lim ----- = 1
   x->0  x
   

Consideremos el círculo trigonométrico (círculo de radio 1).

Si x > 0
   x = ÂP     (Recordar que el ángulo x se mide por la longitud 
   sen x = MP  del arco AP, independientemente de la unidad  
   tg x = AT   utilizada, que puede ser por ej. grados o radianes).
Si x < 0
   x = ÂP'
   sen x = MP'
   tg x = AT'

MP < AP < AT, o sea, sen x < x < tg x, para x > 0 (1)

MP' > AP' > AT', o sea, sen x > x > tg x, para x < 0 (2)

Dividimos (1) y (2) entre sen x (que es negativo cuando x < 0) 
y obtenemos:
                 x      tg x
           1 < ----- <  -----
               sen x    sen x

               sen x    sen x
           1 > ----- >  ----- = cos x -> 1
                 x       tg x   x->0

                                       sen x
Por teo. de la función comprendida lim ----- = 1
                                   x->0  x

7.     tg x
   lim ---- = 1
   x->0  x
   
       tg x          sen x                sen x
   lim ---- = lim  -------- = 1  pues lim ----- = 1 por límite
   x->0  x    x->0 (cos x)x           x->0  x       tipo 6
   
                                 y lim cos x = 1
                                   x->0
   

   
   

8.     1 - cos x    1
   lim ---------- = --
   x->0    x2        2
   
   cos2x + sen2x = 1 => sen2x = 1 - cos2x (1)
   
       1 - cos x       (1 - cos x)(1 + cos x)
   lim --------- = lim ---------------------- =
   x->0   x2       x->0    x2(1 + cos x)
   
         1 - cos2x   por (1)        sen2x        1
   lim  -------------  =    lim  ------------- = -- 
   x->0 x2(1 + cos x)       x->0  x2(1 + cos x)   2
   
             sen2x
   pues lim ----- = 1 por límite tipo 6 y lim 1 + cos x = 2
        x->0  x2                          x->0
   

   
   

9.     (1 + x)m - 1
   lim ------------- = 1
   x->0      mx
   
       (1 + x)m - 1       (1 + x)(1/x)xm - 1  por límite tipo 2
   lim ------------ = lim ----------------- =
   x->0     mx        x->0       mx
   
       emx - 1
   lim ------- = 1 por límite tipo 4
   x->0  mx
   

   
   

10.     n  ______
         \|1 + x  - 1    1
    lim ------------- =  --
    x->0      x          n
    
       n _____
       \|1 + x - 1      (1 + x)1/n - 1       (1 + x)(1/x)x(1/n) - 1
    lim ---------- = lim ------------- = lim -------------------- 
    x->0    x        x->0      x         x->0     x
    
    por límite tipo 2
          ex/n - 1        ex/n - 1   1   por límite tipo 4
    = lim -------- = lim -------- = --
    x->0     x       x->0 (x/n).n    n

DEFINICIÓN DELÍMITE

El primer paso necesario para conseguir descubrir el significado del término que ahora nos ocupa es apostar por establecer el origen etimológico del mismo. Así, podemos determinar que este se encuentra en el latín, y más exactamente en el vocablo limes, genitivo de limitis, que se puede traducir como “borde o frontera”.

Un límite es una división, ya sea física o simbólica, que marca una separación entre dos territorios o naciones. Por ejemplo: “Las autoridades están furiosas porque afirman que el país vecino ha violado el límite territorial”, “¿Ves esos árboles? Son el límite de nuestra propiedad, así que no puedes jugar a la pelota más allá”, “El ecuador es una línea imaginaria que divide al planeta a la mitad”.

Las fronteras territoriales, por lo tanto, son límites que marcan la división de dos regiones. Lo habitual es que la noción de frontera refiera a algo concreto (una muralla, un alambrado, etc.), mientras que el límite puede ser un accidente geográfico o algo más bien simbólico.

Límite también es el extremo al que se puede llegar desde lo espiritual o lo corporal, o el que alcanza un cierto tiempo: “He vivido una situación límite por culpa de la inacción policial”, “El límite para la entrega de trabajos es el próximo miércoles”, “No puedo seguir caminando, he llegado al límite de mis fuerzas”.

De la misma forma tampoco podemos obviar una expresión que se utiliza mucho a nivel coloquial. Se trata de “al límite”. Con ella lo que quiere manifestarse es que, por ejemplo, una persona se encuentra en una situación muy complicada que está a punto de desembocar en un auténtica tragedia. Así una oración que puede ejemplificar dicho significado es la siguiente: “Almudena se encuentra al límite de sus fuerzas, no puede aguantar ya tanta presión”.

Un límite, por otra parte, puede ser una restricción o una limitación. Puede hablarse de un límite legal, social o de otro tipo. Para la psicología, un límite es una represión que no siempre resulta negativa (“Hay que poner límites a este niño”).

Además de todo lo expuesto tenemos que subrayar que en el cine en muchas ocasiones se ha utilizado el término estudiado para dar título a producciones de diversa índole. Así, por ejemplo, nos encontramos con el film “Al límite” que en el año 1999 presentó Martin Scorsese.

Nicolas Cage y Patricia Arquette son los protagonistas de este trabajo en el que se cuenta como un empleado de los servicios de ambulancia de urgencias está muy estresado por su trabajo y comienza a sufrir alucinaciones en las que se le aparecen todas aquellas personas a las que no ha podido salvar su vida.

Tampoco hay que olvidarse de otra película que comparte el mismo título que la anterior, pero que llegó a la gran pantalla en el año 2010 de la mano del cineasta Martin Campbell. El argumento gira entorno al asesinato de la hija de un policía, interpretado por Mel Gibson.

En el ámbito de la matemática, por último, un límite es una magnitud fija a la que se acercan de manera progresiva los términos que conforman una secuencia infinita de magnitudes. De esta forma puede hablarse del límite de una función, el límite de una sucesión, etc.